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《概率论与数理统计》第一学期期末试卷B (精选07)
一、填空（每题3分，共15分）
- 库房里有一批产品，其中合格品占 $80\%$ ，合格品中一等品占 $50\%$ ，现在从库房里任取一件产品为一等品的概率为 ______
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答案： $0.4$ （或 $40\%$）
解析： 本题考查条件概率与乘法公式的应用。
第一步：设事件 设事件 $A$ 为“取出的产品为合格品”，事件 $B$ 为“取出的产品为一等品”。 根据题意，合格品占 $80\%$，即 $P(A) = 0.8$。 合格品中一等品占 $50\%$，这是在产品合格的条件下一等品的概率，即条件概率 $P(B|A) = 0.5$。
第二步：应用乘法公式 要求任取一件产品为一等品的概率，即求 $P(AB)$（因为一等品必然是合格品，所以 $B \subset A$，有 $AB = B$）。 根据概率的乘法公式：
代入数据得：
难度: ⭐ 考点: #条件概率 #乘法公式
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📖 相关公式与知识点:
- 乘法公式：$P(AB) = P(A)P(B|A)$
- 条件概率：$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
思路分析
分清“绝对概率”与“条件概率”。“合格品中一等品占 50%”是条件概率，直接用乘法公式相乘即可。
易错点
错误地将 $50\%$ 理解为全集中的一等品比例，导致混淆 $P(B)$ 与 $P(B|A)$。
🔄 举一反三
- 某厂生产的零件中合格品占 $90\%$，合格品中一等品占 $60\%$。从该厂产品中任取一件，是一等品的概率是多少？
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答案：$0.54$解析： 设 $A$ 为合格品，$B$ 为一等品。$P(A) = 0.9$，$P(B|A) = 0.6$。 由乘法公式 $P(B) = P(A)P(B|A) = 0.9 \times 0.6 = 0.54$。
- 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布， $X\sim N(3,4)$ ， $Y\sim N(2,9)$ ，则 $D(3X + 4Y) =$ ______
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答案： $180$
解析： 本题考查独立随机变量线性组合的方差性质。
第一步：提取已知方差 由 $X \sim N(3, 4)$ 得 $D(X) = 4$。 由 $Y \sim N(2, 9)$ 得 $D(Y) = 9$。
第二步：应用方差性质 因为 $X$ 和 $Y$ 相互独立，根据方差的性质 $D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y)$，可得：
第三步：计算结果 代入方差值：
难度: ⭐ 考点: #正态分布 #方差性质 #独立性
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📖 相关公式与知识点:
- 常数提出来要平方：$D(aX) = a^2 D(X)$
- 独立变量和的方差：若 $X, Y$ 独立，则 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$
- 综合公式：若 $X, Y$ 独立，则 $D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y)$
思路分析
牢记方差的运算性质，特别是常数系数提到方差外面时必须加上平方。
易错点
- 忘记将系数平方，错误地算成 $3D(X) + 4D(Y)$。
- 将正态分布的参数 $N(\mu, \sigma^2)$ 中的 $\sigma^2$ 误认为是 $\sigma$，导致方差取错。本题中已直接给出 $\sigma^2$，即 $D(X)=4, D(Y)=9$。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim N(1, 2)$， $Y \sim N(2, 3)$ 且相互独立，求 $D(2X - 3Y)$。
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答案：$35$解析： 由题意知 $D(X) = 2, D(Y) = 3$。 因为 $X, Y$ 独立，所以 $D(2X - 3Y) = 2^2 D(X) + (-3)^2 D(Y) = 4 \times 2 + 9 \times 3 = 8 + 27 = 35$。
- 设 $X\sim U[a,1]$ ， $X_{1}, \dots, X_{n}$ 是从总体 $X$ 中抽取的样本，求 $a$ 的矩估计为 ______
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答案： $2\bar{X} - 1$
解析： 本题考查矩估计法的基本原理。
第一步：计算总体的理论一阶矩（期望） 已知总体 $X$ 服从闭区间 $[a, 1]$ 上的均匀分布 $U[a, 1]$。 根据均匀分布的期望公式，理论期望为：
第二步：建立矩估计方程 样本的一阶原点矩（样本均值）为：
令理论期望等于样本均值，即 $E(X) = \bar{X}$：
第三步：解方程求估计量
故 $a$ 的矩估计量为 $\hat{a} = 2\bar{X} - 1$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩估计 #均匀分布 #期望
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📖 相关公式与知识点:
- 均匀分布 $U[a, b]$ 的期望：$E(X) = \frac{a+b}{2}$
- 矩估计法思想：用样本矩替换总体矩。
思路分析
矩估计的第一步永远是算 $E(X)$，然后令其等于 $\bar{X}$ 解出待估参数。
🔄 举一反三
- 设总体 $X \sim U[0, \theta]$， $\bar{X}$ 为样本均值，求 $\theta$ 的矩估计。
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答案：$2\bar{X}$解析： $X \sim U[0, \theta] \Rightarrow E(X) = \frac{\theta}{2}$。 令 $\frac{\theta}{2} = \bar{X} \Rightarrow \hat{\theta} = 2\bar{X}$。
- 已知 $F_{0.1}(8,20) = 2$ ，则 $F_{0.9}(20,8) = \_$
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答案： $0.5$ （或 $\frac{1}{2}$）
解析： 本题考查 $F$ 分布的分位点性质。
第一步：回顾 $F$ 分布的倒数性质 若随机变量 $X$ 服从 $F$ 分布，即 $X \sim F(n_1, n_2)$，则其倒数服从自由度互换的 $F$ 分布，即：
第二步：应用分位点关系式 根据上述性质，分位点存在如下倒数关系：
第三步：代入数据计算 已知 $\alpha = 0.1$，$n_1 = 8$，$n_2 = 20$。 题目给出 $F_{0.1}(8,20) = 2$。 要求的是 $F_{1-0.1}(20,8) = F_{0.9}(20,8)$。 代入公式得：
难度: ⭐⭐ 考点: #F分布 #分位点性质
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📖 相关公式与知识点:
- $F$ 分布性质：$F_{1-\alpha}(n_2, n_1) = \frac{1}{F_\alpha(n_1, n_2)}$
思路分析
看到自由度对调（从 $(8,20)$ 变到 $(20,8)$），且分位点概率互补（从 $0.1$ 到 $0.9$），直接联想到倒数性质。
🔄 举一反三
- 已知 $F_{0.05}(5, 10) = 3.33$，求 $F_{0.95}(10, 5)$。
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答案：$0.3003$（或 $\frac{1}{3.33}$） 解析： 利用公式 $F_{0.95}(10, 5) = \frac{1}{F_{0.05}(5, 10)} = \frac{1}{3.33} \approx 0.3003$。
- $\hat{\theta}$ 和 $\hat{\beta}$ 都是参数 $\theta$ 的无偏估计，如果有 ______ 成立，则称 $\hat{\theta}$ 是比 $\hat{\beta}$ 有效的估计。
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答案： $D(\hat{\theta}) < D(\hat{\beta})$
解析： 本题考查点估计的评价标准中的“有效性”。
第一步：理解有效性的定义 设 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$ 都是未知参数 $\theta$ 的无偏估计量。 如果对一切可能的 $\theta$，都有：
且至少对某个 $\theta$ 不等式严格成立，则称 $\hat{\theta}_1$ 比 $\hat{\theta}_2$ 更有效。
第二步：对应题意 题目中 $\hat{\theta}$ 和 $\hat{\beta}$ 均为无偏估计，要使 $\hat{\theta}$ 比 $\hat{\beta}$ 更有效，则 $\hat{\theta}$ 的方差必须更小。 故填：$D(\hat{\theta}) < D(\hat{\beta})$。
难度: ⭐ 考点: #有效性 #无偏估计 #点估计评价标准
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📖 相关公式与知识点:
- 无偏性：$E(\hat{\theta}) = \theta$
- 有效性：在无偏的前提下，方差越小越有效。
思路分析
点估计的优良性准则包括无偏性、有效性、相合性。有效性是针对无偏估计而言的“方差比较”。
🔄 举一反三
- 设 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$ 是 $\theta$ 的两个无偏估计，且 $D(\hat{\theta}_1) = 2$，$D(\hat{\theta}_2) = 3$，哪个估计量更有效？
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答案：$\hat{\theta}_1$解析： 两者均为无偏估计，比较方差。因为 $D(\hat{\theta}_1) = 2 < 3 = D(\hat{\theta}_2)$，方差小者更有效，故 $\hat{\theta}_1$ 更有效。
二、选择题（每题3分，共15分）
- 有人打靶击中的概率为0.8，求他打了10枪，直到第十枪中的概率为（ ）
- A. $0.8^{9}\times 0.2$
- B. $0.2^{9} \times 0.8$
- C. $C_{10}^{1} \times 0.8 \times 0.2^{9}$
- D. $C_{10}^{1} \times 0.2 \times 0.8^{9}$
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答案： B
解析： 本题考查几何分布或独立重复试验的概率计算。
第一步：分析试验过程 “打靶击中的概率为0.8”，则“未击中的概率为 $1 - 0.8 = 0.2$”。 “打了10枪，直到第十枪中”意味着：前 9 枪全部未击中，第 10 枪击中。
第二步：计算概率 每次打靶相互独立。 前 9 枪未击中的概率为：$0.2^9$。 第 10 枪击中的概率为：$0.8$。 因此，所求概率为前 9 次未中与第 10 次中的概率之积：
故选 B。
难度: ⭐ 考点: #独立重复试验 #几何分布
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📖 相关公式与知识点:
- 独立事件的乘法公式：$P(A_1 A_2 \dots A_n) = P(A_1)P(A_2)\dots P(A_n)$
- 几何分布：$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$
思路分析
关键在于理解“直到第十枪中”暗含的条件——前面的射击全部失败，且射击顺序是固定的，不需要乘以组合数。
易错点
误选 C 或 D。组合数 $C_{10}^1$ 用于在 10 次试验中“任意”选 1 次中的情况（二项分布），而本题限定了第 10 次必须中，位置已固定。
🔄 举一反三
- 某射手击中目标的概率为 $0.7$，独立重复射击，直到击中目标为止。求射击次数恰好为 $3$ 的概率。
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答案：$0.063$解析： 射击 3 次才中，说明前 2 次未中（概率 $0.3$），第 3 次中（概率 $0.7$）。 概率为 $0.3 \times 0.3 \times 0.7 = 0.063$。
- 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$ ，且 $f(a - x) = f(x + a)$ ， $F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，则下列等式成立的是（ ）
- A. $F(a) = 1 - F(a)$
- B. $F(a) = 1 - F(-a)$
- C. $F(-a) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} f(x) dx$
- D. $F(-a) = 1 - \int_{0}^{a} f(x) dx$
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答案： A
解析： 本题考查概率密度函数的对称性及其与分布函数的关系。
第一步：分析密度函数的对称性 已知 $f(a - x) = f(a + x)$，这表明密度函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称。
第二步：推导分布函数在对称轴处的值 因为图像关于 $x = a$ 对称，且概率密度函数全区间积分（总面积）为 1。 所以，对称轴左侧的面积（即 $X \leq a$ 的概率）必须等于 $0.5$：
第三步：检验各选项
- 对于选项 A：$F(a) = 1 - F(a) \Rightarrow 2F(a) = 1 \Rightarrow F(a) = 0.5$。这与我们的推导完全吻合。
- 其他选项不具有普适性。
故选 A。
难度: ⭐⭐ 考点: #概率密度对称性 #分布函数
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📖 相关公式与知识点:
- 若 $f(x)$ 关于 $x=a$ 对称，则 $F(a) = 0.5$。
- 若 $f(x)$ 关于 $x=0$ 对称，则 $F(x) + F(-x) = 1$（连续型）。
思路分析
抓住核心结论：关于 $a$ 对称的概率密度，其对称轴处的累积分布函数值必定是 $0.5$。
🔄 举一反三
- 设随机变量 $X \sim N(0, 1)$，其分布函数为 $\Phi(x)$，则下列关系恒成立的是（ ）
- A. $\Phi(x) = \Phi(-x)$
- B. $\Phi(x) + \Phi(-x) = 1$
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答案：B 解析： 标准正态分布关于 $x=0$ 对称，有 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$，即 $\Phi(x) + \Phi(-x) = 1$。
- 设 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本, 且 $EX = \mu$ , 则下列是 $\mu$ 的无偏估计的是 ( )
- A. $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n - 1}X_{i}$
- B. $\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$
- C. $\frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_{i}$
- D. $\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n - 1}X_{i}$
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答案： D
解析： 本题考查无偏估计的验证。
第一步：理解无偏估计的定义 若估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。 已知 $E(X_i) = EX = \mu$（样本与总体同分布）。
第二步：计算各选项的期望
- A 选项：$$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot (n-1)\mu = \frac{n-1}{n}\mu \neq \mu$$
- B 选项：$$E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n-1} \cdot n\mu = \frac{n}{n-1}\mu \neq \mu$$
- C 选项：$$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=2}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=2}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot (n-1)\mu = \frac{n-1}{n}\mu \neq \mu$$
- D 选项：$$E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}X_i\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}E(X_i) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\mu = \mu$$
第三步：得出结论 只有 D 选项的期望严格等于 $\mu$。
故选 D。
难度: ⭐ 考点: #无偏估计 #期望性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 期望的线性性质：$E(\sum a_i X_i) = \sum a_i E(X_i)$。
思路分析
利用期望的齐次性和可加性，把系数提出来，统计求和项的个数，直接化简即可。
🔄 举一反三
- 设 $X_1, X_2, X_3$ 是总体 $X$ 的样本，$E(X)=\mu$，判断 $\hat{\mu} = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2$ 是否为 $\mu$ 的无偏估计。
查看练习答案与解析
答案：是 解析： $E(\hat{\mu}) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$。
- 设两独立随机变量 $X \sim N(0,1)$ ， $Y \sim \chi^2(9)$ ，则 $\frac{3X}{\sqrt{Y}}$ 服从（ ）
- A. $N(0,1)$
- B. $t(3)$
- C. $t(9)$
- D. $F(1,9)$
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答案： C
解析： 本题考查统计三大分布中 $t$ 分布的定义。
第一步：回顾 $t$ 分布的定义 设随机变量 $U \sim N(0, 1)$， $V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立。 则构造的统计量：
第二步：将题干表达式变形 已知 $X \sim N(0, 1)$，$Y \sim \chi^2(9)$，自由度 $n=9$。 我们将待求式子进行代数变形，使其符合 $t$ 分布的标准形式：
此时，$U=X \sim N(0, 1)$，$V=Y \sim \chi^2(9)$，$n=9$。 完全符合 $t(9)$ 的定义。
故选 C。
难度: ⭐⭐ 考点: #t分布 #抽样分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $t$ 分布结构：$\frac{\text{标准正态}}{\sqrt{\text{卡方}/\text{自由度}}}$
思路分析
看到分子是正态，分母带根号且里面是卡方，直接锁定 $t$ 分布。通过把常数（这里的 3）移到分母的根号内部变成除以自由度，即可识别出自由度。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim N(0, 1), Y \sim \chi^2(n)$ 独立，则 $\frac{X^2}{Y/n}$ 服从什么分布？
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答案：$F(1, n)$解析： $X \sim N(0, 1) \Rightarrow X^2 \sim \chi^2(1)$。 根据 $F$ 分布的定义，两个独立卡方除以各自自由度之比服从 $F$ 分布： $\frac{X^2 / 1}{Y / n} = \frac{X^2}{Y/n} \sim F(1, n)$。
- 下列可以作为某随机变量 $X$ 的分布列的是（ ）
- A.
$X$ 1 2 3 $P$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ - B. | $X$ | -1 | 1 | | :---: | :---: | | $P$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ |
- C.
$X$ -1 1 2 $P$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ - D.
$X$ -1 0 1 $P$ $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{3}$
- A.
查看答案与解析
答案： C
解析： 本题考查离散型随机变量分布列（分布律）的性质。
第一步：回顾分布列的两个核心性质 离散型随机变量的概率分布 $P(X = x_i) = p_i$ 必须满足：
- 非负性：$p_i \geq 0$，对所有 $i$ 成立。
- 规范性：$\sum_{i} p_i = 1$。
第二步：逐一检验选项
- A 选项：$\sum p_i = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5 \neq 1$，不满足规范性。
- B 选项：$\sum p_i = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \neq 1$，不满足规范性。
- C 选项：$\sum p_i = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$，且所有概率均非负，满足条件。
- D 选项：$\sum p_i = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \neq 1$，不满足规范性。
故选 C。
难度: ⭐ 考点: #分布列性质 #规范性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 分布律规范性：$\sum p_i = 1$
思路分析
遇到此类题目，直接把第二行的概率值加起来，看和是否为 1 即可。
🔄 举一反三
- 判断以下是否可以作为分布列：$X$ 取 $1, 2$，概率分别为 $0.4$ 和 $0.6$。
查看练习答案与解析
答案：可以 解析： $0.4 \geq 0, 0.6 \geq 0$，且 $0.4 + 0.6 = 1$，满足分布律的性质。
三、计算（每题10分，共70分）
- 某种动物的体重服从正态分布 $N(\mu, 9)$ , 今抽取 9 个动物考察, 测得平均体重为51.3公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（ $\alpha = 0.05$ ）
查看答案与解析
答案： 可以认为该动物的体重平均值为 52 公斤。
解析： 本题考查单个正态总体均值的假设检验（$\sigma^2$ 已知的情况，采用 $Z$ 检验）。
第一步：建立假设
- 原假设 $H_0: \mu = 52$
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 52$
第二步：确定检验统计量及其分布 已知总体方差 $\sigma^2 = 9 \Rightarrow \sigma = 3$。样本容量 $n = 9$，样本均值 $\bar{X} = 51.3$。 在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量为：
第三步：计算统计量的值 代入数据：
第四步：确定拒绝域并做出判断 显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$。 拒绝域为：$|Z| > 1.96$。 因为 $|Z| = |-0.7| = 0.7 < 1.96$，落在接受域内。
结论：在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，接受原假设 $H_0$，即可以认为该动物的体重平均值为 52 公斤。
难度: ⭐⭐ 考点: #假设检验 #Z检验 #正态总体均值检验
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $Z$ 检验统计量：$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
思路分析
牢记假设检验的四步法：设假设 -> 找统计量 -> 算数值 -> 做比较。
🔄 举一反三
- 某种动物的体重服从正态分布 $N(\mu, 16)$，抽取 16 个样本，测得平均体重为 50 公斤。问在 $\alpha=0.05$ 下能否认为均值为 52？（$Z_{0.025}=1.96$）
查看练习答案与解析
答案：不能认为均值为 52。 解析： $H_0: \mu = 52$。 $Z = \frac{50 - 52}{4 / \sqrt{16}} = \frac{-2}{1} = -2$。 因为 $|-2| = 2 > 1.96$，落在拒绝域内，故拒绝 $H_0$。
- 设总体 $X$ 的密度函数为： $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}(a + 1)x^a & 0 < x < 1\\ 0 & \text{其他} \end{array} \right.$ 设 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 是 $X$ 的样本，求 $a$ 的矩估计量和极大似然估计。
查看答案与解析
答案：
- 矩估计量：$\hat{a}_M = \frac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}$
- 极大似然估计量：$\hat{a}_L = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i} - 1$
解析： 本题考查参数估计中的矩估计法和极大似然估计法。
第一步：求矩估计量
- 计算总体期望 $E(X)$：$$E(X) = \int_{0}^{1} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x(a+1)x^a dx = (a+1) \int_{0}^{1} x^{a+1} dx$$$$E(X) = (a+1) \left[ \frac{x^{a+2}}{a+2} \right]_0^1 = \frac{a+1}{a+2}$$
- 令 $E(X) = \bar{X}$ 建立方程：$$\frac{a+1}{a+2} = \bar{X}$$
- 解方程求 $a$：$$a+1 = \bar{X}(a+2) \Rightarrow a - \bar{X}a = 2\bar{X} - 1 \Rightarrow a(1-\bar{X}) = 2\bar{X} - 1$$故矩估计量为：$$\hat{a}_M = \frac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}$$
第二步：求极大似然估计量
- 写出似然函数 $L(a)$：$$L(a) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = \prod_{i=1}^n (a+1)X_i^a = (a+1)^n \left(\prod_{i=1}^n X_i\right)^a$$
- 取对数似然函数 $\ln L(a)$：$$\ln L(a) = n\ln(a+1) + a\sum_{i=1}^n \ln X_i$$
- 对 $a$ 求导并令其为 0：$$\frac{d\ln L(a)}{da} = \frac{n}{a+1} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0$$
- 解出 $a$：$$\frac{n}{a+1} = -\sum_{i=1}^n \ln X_i \Rightarrow a+1 = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$$故极大似然估计量为：$$\hat{a}_L = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i} - 1$$
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #矩估计 #极大似然估计 #连续型分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 极大似然法步骤：似然函数 -> 取对数 -> 求导令为0 -> 解方程。
易错点
原题干中“求 $\alpha$ 的矩估计量”为印刷笔误，根据密度函数表达式，待估参数应为 $a$。
🔄 举一反三
- 设总体 $X$ 的密度为 $f(x) = \theta x^{\theta-1} \ (0<x<1)$，求 $\theta$ 的极大似然估计。
查看练习答案与解析
答案：$\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum \ln X_i}$解析： $L(\theta) = \theta^n (\prod X_i)^{\theta-1}$。 $\ln L = n\ln\theta + (\theta-1)\sum\ln X_i$。 求导得 $\frac{n}{\theta} + \sum\ln X_i = 0 \Rightarrow \hat{\theta} = -\frac{n}{\sum\ln X_i}$。
- 一个盒子中有 8 个白球 2 个黑球，现在依次一个一个地从盒中取出球来，（无放回）直到取到白球为止，用 $X$ 代表所取次数，求 $X$ 的分布列和分布函数。
查看答案与解析
答案：
分布列：
$X$ 1 2 3 $P$ $\frac{4}{5}$ $\frac{8}{45}$ $\frac{1}{45}$ 分布函数：
$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 1 \\ \frac{4}{5} & 1 \leq x < 2 \\ \frac{44}{45} & 2 \leq x < 3 \\ 1 & x \geq 3 \end{array} \right.$$
解析： 本题考查离散型随机变量的分布律与分布函数的求解。
第一步：确定 $X$ 的取值范围 因为盒子中只有 2 个黑球，且是无放回抽取，最坏的情况是前 2 次都取到黑球，第 3 次必然取到白球。 所以 $X$ 的可能取值为：1, 2, 3。
第二步：计算每个取值的概率
- $X=1$（第一次就取到白球）：$$P(X=1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$
- $X=2$（第一次取到黑球，第二次取到白球）：$$P(X=2) = \frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{45}$$
- $X=3$（前两次都取到黑球，第三次取到白球）：$$P(X=3) = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{8} = \frac{1}{45}$$
验证：$\frac{36}{45} + \frac{8}{45} + \frac{1}{45} = 1$，概率和为 1，正确。
第三步：求分布函数 $F(x) = P(X \leq x)$
- 当 $x < 1$ 时，$F(x) = 0$；
- 当 $1 \leq x < 2$ 时，$F(x) = P(X=1) = \frac{4}{5}$；
- 当 $2 \leq x < 3$ 时，$F(x) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{4}{5} + \frac{8}{45} = \frac{44}{45}$；
- 当 $x \geq 3$ 时，$F(x) = 1$。
难度: ⭐⭐ 考点: #离散型分布律 #分布函数 #古典概型
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📖 相关公式与知识点:
- 分布函数定义：$F(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X=x_i)$
易错点
写分布函数时，注意区间的开闭（左闭右开）。
🔄 举一反三
- 盒中有 3 个白球 2 个黑球，无放回抽取直到取到白球，求抽取次数 $X$ 的分布列。
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答案：$P(X=1)=3/5, P(X=2)=3/10, P(X=3)=1/10$。 解析： $P(X=1) = 3/5$。 $P(X=2) = 2/5 \times 3/4 = 3/10$。 $P(X=3) = 2/5 \times 1/4 \times 1 = 1/10$。
- 设随机变量 $X$ 的密度函数为： $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}2e^{-2x} & x\geq 0\\ 0 & x < 0 \end{array} \right.$ 求： （1） $Y = aX + b$ 的密度函数 $(a > 0)$ ；(2） $E(Y + e^{-3X})$ 的数学期望
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答案： (1) $Y$ 的密度函数为：
(2) 期望值为：$\frac{a}{2} + b + 0.4$
解析： 本题考查连续型随机变量函数的分布及其期望的计算。
第一步：求解 $Y = aX + b$ 的密度函数 使用公式法（单调函数变换法）： 设 $y = g(x) = ax + b$，因为 $a > 0$，所以 $g(x)$ 严格单调递增，其反函数为 $x = h(y) = \frac{y-b}{a}$。 反函数的导数为 $h'(y) = \frac{1}{a}$。 根据公式 $f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$： 当 $x \geq 0 \Rightarrow \frac{y-b}{a} \geq 0 \Rightarrow y \geq b$ 时：
当 $y < b$ 时，$f_Y(y) = 0$。
第二步：求解期望 $E(Y + e^{-3X})$ 利用期望的线性性质：
- 计算 $E(X)$： $X$ 服从参数为 2 的指数分布 $\text{Exp}(2)$，故 $E(X) = \frac{1}{2}$。
- 计算 $E(e^{-3X})$：$$E(e^{-3X}) = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \cdot 2e^{-2x} dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-5x} dx = 2 \left[ -\frac{1}{5}e^{-5x} \right]_0^{\infty} = \frac{2}{5} = 0.4$$
- 综合结果：$$E(Y + e^{-3X}) = a \cdot \frac{1}{2} + b + 0.4 = \frac{a}{2} + b + 0.4$$
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #一维随机变量函数分布 #期望性质 #指数分布
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📖 相关公式与知识点:
- 连续型函数密度公式：$f_Y(y) = f_X(h(y))|h'(y)|$
- 指数分布期望：$E(X) = 1/\lambda$
思路分析
求期望时，利用线性性质拆开算比先求 $Y+e^{-3X}$ 的分布再算期望要简单得多。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim \text{Exp}(1)$，求 $Y = 2X + 1$ 的密度函数。
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答案：$f_Y(y) = \frac{1}{2} e^{-\frac{y-1}{2}} \ (y \geq 1)$解析： $x = \frac{y-1}{2}$，$h'(y) = 1/2$。 $f_Y(y) = e^{-(y-1)/2} \cdot \frac{1}{2}$。
- 两个盒子，每个里面都有六个球，每个球上面都有号码，每个盒子中的球的号码都是从一到六。现在从两个盒子里分别各取一球，记所抽得球上号码之和为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望。
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答案： $7$
解析： 本题考查随机变量和的期望性质。
第一步：设随机变量 设从第一个盒子中抽取的球的号码为 $X_1$，从第二个盒子中抽取的球的号码为 $X_2$。 则所求的号码之和为：
第二步：求单个变量的期望$X_1$ 和 $X_2$ 的可能取值均为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且取到每个号码的概率都是 $\frac{1}{6}$（离散均匀分布）。
同理，由对称性可知：
第三步：应用期望的可加性 不管 $X_1$ 和 $X_2$ 是否独立，均有 $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)$。
难度: ⭐ 考点: #期望性质 #离散均匀分布
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📖 相关公式与知识点:
- 期望线性性质：$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$（无需独立性）。
思路分析
不要尝试去求 $X=X_1+X_2$ 的具体分布列（虽然也可以求，但比较繁琐），直接用期望的线性性质秒杀。
🔄 举一反三
- 掷两个均匀的骰子，求点数之和的期望。
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答案：$7$解析： 与本题完全等价，期望为 $3.5 + 3.5 = 7$。
- 二维随机变量 $(X,Y)$ 在由 $y = x^{2} - 1$ 和 $y = -x^{2} + 1$ 围成的区域 $G$ 内服从均匀分布。求：（1） $f(x,y)$ ；（2） $f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ ；（3）判别 $X$ ， $Y$ 是否独立。
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答案： (1) 联合密度函数为：
(2) 边缘密度函数为：
(3) $X$ 与 $Y$ 不独立。
解析： 本题考查二维连续型均匀分布的联合密度、边缘密度及独立性判断。
第一步：求区域 $G$ 的面积 $A$ 求解曲线交点：$x^2 - 1 = -x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm 1$。 区域面积为：
故联合密度为：
第二步：求边缘密度
- 对 $f_X(x)$，固定 $x \in [-1, 1]$，积分限为 $x^2-1 \leq y \leq 1-x^2$：$$f_X(x) = \int_{x^2-1}^{1-x^2} \frac{3}{8} dy = \frac{3}{8} [ (1-x^2) - (x^2-1) ] = \frac{3}{4}(1-x^2), \quad -1 \leq x \leq 1$$
- 对 $f_Y(y)$，固定 $y \in [-1, 1]$，需分段：
- 当 $0 \leq y \leq 1$ 时，$x$ 的范围由 $y \leq 1-x^2 \Rightarrow -\sqrt{1-y} \leq x \leq \sqrt{1-y}$：$$f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} \frac{3}{8} dx = \frac{3}{4}\sqrt{1-y}$$
- 当 $-1 \leq y < 0$ 时，$x$ 的范围由 $y \geq x^2-1 \Rightarrow -\sqrt{y+1} \leq x \leq \sqrt{y+1}$：$$f_Y(y) = \int_{-\sqrt{y+1}}^{\sqrt{y+1}} \frac{3}{8} dx = \frac{3}{4}\sqrt{y+1}$$
- 当 $0 \leq y \leq 1$ 时，$x$ 的范围由 $y \leq 1-x^2 \Rightarrow -\sqrt{1-y} \leq x \leq \sqrt{1-y}$：
第三步：判断独立性 因为区域 $G$ 不是矩形区域（或者直接验证 $f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$），所以 $X$ 与 $Y$ 必定不独立。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #二维均匀分布 #边缘密度 #独立性判定
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📖 相关公式与知识点:
- 均匀分布联合密度：$f(x,y) = 1/A$
- 独立性等价条件：联合密度等于边缘密度之积。
思路分析
求 $f_Y(y)$ 时的分段是难点，必须画图明确在不同 $y$ 值下 $x$ 的积分区间。
🔄 举一反三
- $(X,Y)$ 在单位圆 $x^2+y^2 \leq 1$ 内服从均匀分布，求联合密度。
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答案：$f(x,y) = 1/\pi$（圆内） 解析： 圆面积为 $\pi$，故均匀分布密度为面积的倒数 $1/\pi$。
- 假设一厂家生产的仪器每台以 0.7 的概率直接出厂，以 0.3 的概率需进一步进行调试，经调试的以 0.8 的概率可以出厂，以 0.2 的概率定为不合格品报废。现该厂生产了 $n(n \geq 2)$ 台该种仪器（假定各台仪器的生产相互独立），求：（1） $n$ 台仪器全部都能出厂的概率 $p$ ；（2）恰有两件被报废的概率 $q$ 。
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答案： (1) $p = 0.94^n$ (2) $q = C_n^2 \times 0.06^2 \times 0.94^{n-2}$
解析： 本题考查全概率公式与二项分布的应用。
第一步：计算单台仪器能够出厂及报废的概率 设事件 $A$ 为“单台仪器合格出厂”，事件 $B$ 为“单台仪器报废”，事件 $C$ 为“直接出厂”，事件 $D$ 为“需调试”。 根据题意：
- $P(C) = 0.7$
- $P(D) = 0.3$
- $P(A|C) = 1$（直接出厂代表 100% 出厂）
- $P(A|D) = 0.8$（调试后 80% 出厂）
- $P(B|D) = 0.2$（调试后 20% 报废）
由全概率公式，单台仪器能出厂的概率为：
单台仪器报废的概率为：
（或通过 $P(D)P(B|D) = 0.3 \times 0.2 = 0.06$ 计算得出）。
第二步：求解问题（1）$n$ 台仪器相互独立，全部出厂的概率为每台出厂概率的乘积：
第三步：求解问题（2） 设 $n$ 台仪器中报废的台数为 $X$，由于独立性，$X$ 服从二项分布 $B(n, 0.06)$。 恰有两件报废的概率为：
难度: ⭐⭐ 考点: #全概率公式 #二项分布
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📖 相关公式与知识点:
- 二项分布概率公式：$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
思路分析
核心是先求出“单台”的概率，再利用独立性推广到 $n$ 台。
🔄 举一反三
- 某试验每次成功率为 $0.9$，重复进行 10 次，求全部成功的概率。
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答案：$0.9^{10}$解析： 每次独立，全成功概率为 $0.9$ 的 10 次方。